LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Adhisty Aristya Nilam (1)

Kelas  : XI IPS 2

LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA

Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva, Anda bisa menggunakan rumus diskriminan persamaan kuadrat untuk jenis soal tertentu. Tetapi ternyata menghitung luas daerah yang dibatasi kurva bisa menggunakan konsep operasi integral.

Dengan menggunakan operasi integral akan membuat menghitung soal luas daerah menjadi semakin mudah.

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva bisa menggunakan rumus cepat berikut ini.

Rumus tersebut dapat diperoleh dari konsep integral dan limit. Nah, untuk memahamkan Anda, coba perhatikan contoh soal berikut ini.

Hitunglah luas daerah yang dibatasi y = x2 – 16 dengan sumbu x!

Hal pertama yang harus dikerjakan adalah dengan menggambar kurva y = x2 – 16 dengan sumbu x

Terlihat dari gambar tersebut bahwa batas integral adalah 4 dan -4. Sehingga luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 16 dengan sumbu x adalah sebagai berikut.

Jika menggunakan rumus cepat di atas, dapat diketahui bahwa a = 1, b = 0, c = -16. Sehingga luasanya adalah 

Contoh soal : 

Contoh 1 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 + 2x dengan sumbu x

Jawab :

Contoh Soal 2
Berbeda dengan soal berikut ini. 

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x² dan garis x+y=6 adalah...
Jawab:
Berdasarkan soal tersebut, dapat kita lihat bahwa hanya terdapat satu titik potong  yaitu:
x²=6-x
x²+x-6=0
(x+3)(x-2)=0
x=-3 atau x=2

Pada soal 2 di atas persamaan parabola dan persamaan garisnya telah diketahui. Agar kita dapat melihat perbedaan soal 1 dan soal 2. Mari kita konversia kedua persamaan tersebut dalam sebuah gambar.

Dengan demikian luas daerahnya yaitu:

Contoh soal 3
Tentukan luas daerah di bawah kurva dari gambar berikut ini!

Jawab
Dari gambar tersebut:
y=ln(x)
Titik potongnya: x=1 atau x=e
Dengan demikian:

Kita akan mencari integral dari ln(x) terlebih dahulu.
Misal: u=ln(x) dan dv=dx
Maka: du=d ln(x) dan v=x

Jadi,

Menghitung Volume Benda Putar

Sama seperti halnya menghitung luas daerah yang dibatasi kurva, menghitung volume benda putar juga menggunakan konsep operasi integral.

Konsep integral ini bisa digunakan untuk menghitung rumus luas daerah dan volume benda putar yang disesuaikan dengan kurva yang menjadi pembatasnya.

Salah satu contohnya adalah jika Anda menghitung volume tabung. Seperti halnya yang Anda ketahui bahwa untuk menghitung volume tabung didapatkan dari luas alas dikali tinggi. Nah, jika tabung diputar, maka rumus yang didapatkan adalah

Untuk menghitung volume benda putar, Anda juga harus memperhatikan luasan benda yang diputar. Untuk rumus volume benda putar sumbu x yang dibatasi 1 kurva adalah sebagai berikut

Sedangkan untuk rumus volume benda putar sumbu y yang dibatasi 1 kurva adalah

Untuk menentukan volume benda putar bisa menggunakan dua metode, yaitu metode cakram dan metode silinder. Pada metode cakram bisa digunakan jika diambil potongan tinggi benda yang sejajar dengan sumbu putarnya. Sehingga rumus yang diguanakan

Sedangkan untuk metode cincin silinder digunakan jika luasan benda diputar pada sumbu tertentu. Sehingga terbentuk benda putar dengan volume yang memiliki besar luasan dikali dengan keliling putarannya. Sehingga berlaku rumus

Sebagai contohnya, hitung volume benda putar menggunakan metode cakram yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan 0 ≤ x ≤ 2 jika diputar pada sumbu x!

Contoh soal :

Contoh 1:

Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dari x = 0 ke x =1 diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Isi benda putar yang terjadi

Contoh 2
Volume benda putar yang terjadi jika daerah diantara kurva $y=\sqrt{x}$ dan $y=\frac{1}{2}x$, diputar 360^o mengelilingi sumbu-x adalah... satuan volume.

Jawab :
Misalkan :
y₁ = √x
y₂ = $\frac{1}{2}$x

Titik potong kurva :
y₁ = y₂
√x = $\frac{1}{2}$x  (kuadratkan)
x = $\frac{1}{4}$x²   (kali 4)
4x = x²
4x − x² = 0
x (4 − x) = 0
x = 0 atau x = 4

V = π${\int }_0^4$(y₁² − y₂²) dx
V = π${\int }_0^4\left\{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}x\right)}^2\right\}dx$
V = π${\int }_0^4$(x − $\frac{1}{4}$x²) dx
V = π${\left[\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{12}{x}^3\right]}_0^4$
V = $\frac{8}{3}$π


Contoh 3
Daerah yang dibatasi kurva $y=x^2$, garis $y=2-x$ dan sumbu-x diputar diputar 360^o mengelilingi sumbu-x. Volume benda putar yang terjadi adalah ... satuan volume.

Jawab :
Misalkan :
y₁ = x²
y₂ = 2 − x

Titik potong kurva :
y₁ = y₂
x² = 2 − x
x² + x − 2 = 0
(x + 2)(x − 1) = 0
x = −2 atau x = 1

Titik potong garis dan sumbu-x  ⇒ y = 0
2 − x = 0
x = 2

V_I = π${\int }_0^1$ y₁² dx
V_I = π${\int }_0^1$ (x²)² dx
V_I = π${\int }_0^1$ x⁴ dx
V_I = π${\left[\frac{1}{5}{x}^5\right]}_0^1$
V_I = $\frac{1}{5}$π

V_II = π${\int }_1^2$ y₂² dx
V_II = π${\int }_1^2$ (2 − x)² dx
V_II = π${\int }_1^2$ (x² − 4x + 4) dx
V_II = π${\left[\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+4x\right]}_1^2$
V_II = $\frac{1}{3}$π

Sehingga diperoleh :
V = V_I + V_II
V = $\frac{1}{5}$π + $\frac{1}{3}$π
V = $\frac{8}{15}$π

Nah itulah rumus yang digunakan untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. 

DAFTAR PUSTAKA : 

https://www.google.com/amp/s/www.mahirmatematika.com/luas-daerah-dan-volume-benda-putar/amp/

https://ilmuhitung.com/aplikasi-integral-menentukan-luas-dan-volume-suatu-daerah/

https://www.sheetmath.com/2020/01/integral-luas-daerah-yang-dibatasi-kurva-contoh-soal-dan-pembahasan.html?m=1

https://smatika.blogspot.com/2016/11/aplikasi-integral-menghitung-volume.html?m=1