PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Adhisty Aristya Nilam (1)

Kelas  : XI IPS 2

PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

diferensial

Metode Newton merupakan contoh penggunaan garis singgung untuk memperkirakan grafik suatu fungsi. Pada bagian ini, kita akan belajar situasi lain sedemikian sehingga grafik suatu fungsi dapat diperkirakan dengan suatu garis lurus.

Pertama, perhatikan suatu fungsi f yang terdiferensialkan pada c. Persamaan garis singgung fungsi tersebut pada titik (c, f(c)) adalah

dan disebut sebagai pendekatan garis singgung (atau pendekatan linear) f pada c. Karena c merupakan suatu konstanta, maka y merupakan fungsi linear terhadap x. Selain itu, dengan membatasi nilai x sehingga cukup dekat dengan c, maka nilai y dapat digunakan untuk memperkirakan (ke dalam derajat ketelitian yang ditentukan) nilai fungsi f. Dengan kata lain, jika xmendekati c, maka limit y adalah f(c).

Contoh 1: Menggunakan Pendekatan Garis Singgung

Tentukan pendekatan garis singgung f(x) = 1 + sin xpada titik (0, 1). Kemudian gunakan tabel untuk membandingkan nilai y fungsi linear dengan f(x) pada selang buka yang memuat x = 0.

Pembahasan Turunan f adalah

Sehingga, persamaan garis singgung grafik f pada titik (0, 1) adalah

Tabel di bawah membandingkan nilai-nilai y hasil perkiraan linear dengan nilai-nilai f(x) yang dekat dengan x = 0. Perhatikan bahwa semakin dekat x ke 0, maka diperoleh perkiraan yang semakin baik. Kesimpulan ini dipertegas oleh grafik di bawahnya.

Catatan Pastikan kita dapat melihat bahwa perkiraan linear f(x) = 1 + sin x ini bergantung pada titik di mana garis singgung bersinggungan dengan grafik f. Pada titik yang berbeda, kita akan mendapatkan pendekatan garis singgung yang berbeda.

Penerapan Turunan: Metode Newton

Pada pembahasan ini, kita akan mempelajari suatu teknik untuk mendekati pembuat nol suatu fungsi. Teknik tersebut disebut Metode Newton, dan metode ini menggunakan garis singgung untuk mendekati perpotongan suatu grafik fungsi dengan sumbu-x.

Untuk melihat bagaimana Metode Newton bekerja, perhatikan suatu fungsi f yang kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensialkan pada selang (a, b). Jika f(a) dan f(b) memiliki tanda yang berlawanan, maka berdasarkan Teorema Nilai Antara, f haruslah memiliki minimal satu pembuat nol pada selang (a, b). Untuk memperkirakan pembuat nol tersebut, kita pilih

seperti yang ditunjukkan Gambar (a). Metode Newton didasarkan pada asumsi bahwa grafik f dan garis singgungnya pada (x1, f(x1)) memotong sumbu-x kira-kirapada titik yang sama. Karena kita dengan mudah dapat menentukan titik potong garis singgung dengan sumbu-x, kita dapat menggunakan titik tersebut sebagai perkiraan kedua (dan biasanya lebih baik) untuk mendekati pembuat nol f. Garis singgung tersebut menyinggung pada titik (x1, f(x1)) dengan gradien f ’(x1). Persamaan garis yang melalui titik dan memiliki gradien tertentu dapat dituliskan

Dengan memisalkan y = 0 dan menyelesaikan persamaan tersebut ke dalam x menghasilkan

Sehingga, dari perkiraan awal x1, kita memperoleh perkiraan yang baru

Kita dapat memperbaiki x2 dan menghitung perkiraan yang ketiga

Pengulangan proses di atas disebut sebagai Metode Newton.

---

Metode Newton untuk Mendekati Pembuat Nol Suatu Fungsi

Misalkan f(c) = 0, dimana f terdiferensialkan pada selang buka yang memuat c. Maka, untuk mendekati c, kita lakukan langkah-langkah berikut.

1. Buat perkiraan awal x1 yang dekat ke c. (Grafik fungsi bisa membantu).
2. Tentukan perkiraan baru
   
3. Jika |xn – xn + 1| masuk dalam akurasi yang diharapkan, maka xn + 1 merupakan perkiraan akhir. Jika tidak, kembali ke langkah 2 dan hitung perkiraan baru.

Masing-masing terapan berurutan prosedur ini disebut sebagai iterasi.

---

Contoh 1: Menggunakan Metode Newton

Hitunglah tiga iterasi Metode Newton untuk mendekati pembuat nol f(x) = x² – 2. Gunakan x1 = 1 sebagai perkiraan awal.

Pembahasan Karena f(x) = x² – 2, kita dapatkan f ’(x) = 2x, dan rumus iteratifnya adalah

Perhitungan tiga iterasi Metode Newton fungsi yang diberikan dapat ditunjukkan oleh tabel berikut.

Tentunya, dalam kasus ini kita tahu bahwa dua pembuat nol fungsi tersebut adalah ±√2. Dalam enam angka di belakang koma, √2 = 1,414214. Sehingga, kita menghasilkan suatu pendekatan yang berselisih 0,000002 dari akar sebenarnya. Iterasi pertama proses ini digambarkan oleh gambar di bawah.

Penerapan Turunan: Masalah Optimalisasi

Salah satu penerapan kalkulus yang paling umum adalah penentuan nilai maksimum dan minimum. Hal tersebut dapat diamati dengan seberapa sering kita mendengar atau membaca istilah keuntungan terbesar, biaya terkecil, kekuatan terbesar, dan jarak terjauh. Sebelum kita menguraikan strategi untuk menyelesaikan permasalahan seperti itu, perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Menentukan Volume Terbesar

Suatu perusahaan ingin merancang suatu kotak terbuka yang memiliki alas persegi dan luas permukaan 108 cm², seperti yang ditunjukkan gambar di bawah. Berapakah panjang, lebar, dan tinggi kotak tersebut agar menghasilkan kotak dengan volume terbesar?

Pembahasan Karena kotak tersebut memiliki alas persegi, maka volumenya

Persamaan ini disebut sebagai persamaan primerkarena persamaan tersebut memberikan rumus untuk nilai yang akan dioptimumkan. Luas permukaan kotak tersebut adalah,

Karena V akan dimaksimumkan, maka kita perlu menulis V hanya ke dalam satu variabel. Untuk itu, kita harus menyelesaikan persamaan 108 = x² + 4xt dalam t yang memuat variabel x. Sehingga dihasilkan t = (108 – x²)/(4x). Dengan mensubstitusi nilai t tersebut ke dalam persamaan primer, didapatkan

Sebelum menentukan nilai x mana yang dapat menyebabkan V maksimum, kita terlebih dulu harus menentukan domain fungsi V, yaitu nilai x yang masuk akal dalam masalah ini. Kita tahu bahwa V ≥ 0. Kita juga tahu bahwa nilai x yang masuk akal adalah nilai yang tidak negatif dan luas alas (A = x²) memiliki nilai maksimum 108, sehingga domain fungsi tersebut adalah

Untuk memaksimumkan V, kita tentukan nilai kritis fungsi V pada selang (0, √108).

Sehingga diperoleh nilai kritis x = ±6. Kita tidak perlu mempertimbangkan x = –6 karena terletak di luar domain. Kita tentukan nilai V pada nilai kritis dan kedua ujungnya, diperoleh V(0) = 0, V(6) = 108, dan V(√108) = 0. Jadi, V akan bernilai maksimum pada x = 6, dan ukuran kotak yang dimaksud adalah 6 cm × 6 cm × 3 cm.

Pada Contoh 1, kita menyadari bahwa terdapat tak hingga banyak kotak terbuka yang memiliki luas alas 108 cm². Untuk memulai menyelesaikan permasalahan tersebut, kita harus menanyakan kepada diri kita sendiri bentuk kotak yang seperti apa yang dapat menghasilkan volume maksimum. Apakah kotak panjang, pendek, atau kotak yang menyerupai kubus?

Kita bisa mencoba untuk menghitung beberapa volume, seperti yang ditunjukkan gambar di bawah, untuk memprediksi bentuk manakah yang menghasilkan volume maksimum. Ingat bahwa kita tidak siap untuk menyelesaikan masalah sampai kita dapat mengidentifikasi permasalahan tersebut.

Contoh 1 mengilustrasikan langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan optimalisasi berikut.

---

Panduan Menyelesaikan Permasalahan Optimalisasi

1. Identifikasi semua kuantitas yang diberikan dan semua kuantitas yang akan ditentukan. Jika mungkin, buatlah sketsa.
2. Tulis persamaan primer untuk kuantitas yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan.
3. Reduksi persamaan primer menjadi persamaan yang hanya memuat satu variabel bebas. Hal ini melibatkan persamaan kedua yang memuat variabel bebas persamaan primer.
4. Tentukan domain persamaan primer. Sehingga kita harus menentukan semua nilai yang menyebabkan permasalahan yang diberikan masuk akal.
5. Tentukan nilai maksimum atau minimum yang diinginkan dengan menggunakan teknik kalkulus.

Kemonotonan Fungsi

Ringkasan:
Suatu fungsi dapat mengalami monoton naik atau monoton turun pada interval tertentu. Kemonotonan suatu fungsi pada interval tertentu dapat diketahui berdasarkan turunannya. Suatu fungsi monoton naik jika turunan fungsi pada interval tersebut lebih besar dari 0.

Definisi Monoton
Suatu fungsi dikatakan monoton naik pada interval I jika

untuk semua x₁<x₂ berlaku f(x₁) < f(x₁) 

Suatu fungsi dikatakan monoton turun pada interval I jika

untuk semua x₁<x₂ berlaku f(x₁) > f(x₁)

Teorema Kemonotonan

Suatu fungsi dikatakan monoton naik pada interval I jika

f'(x) > 0 untuk semua x pada interval I

Suatu fungsi dikatakan monoton turun pada interval I jika

f'(x) < 0 untuk semua x pada interval I

interval fungsi naik/turun

Perhatikan grafik fungsi berikut !

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa fungsi f(x) naik pada interval $x<a$ atau $x>b$ dan turun pada interval $a<x<b$

Selain dengan melihat secara visual pada grafik, interval naik atau turunnya suatu fungsi dapat ditentukan dari turunan pertama fungsi tersebut.

1. Jika f '(x) > 0 untuk semua x yang berada pada interval I, maka f naik pada I.
2. Jika f '(x) < 0 untuk semua x yang berada pada interval I, maka f turun pada I.

Contoh 1
Jika f(x) = x² − 6x + 8, tentukan interval f(x) naik dan interval f(x) turun!

Jawab :
f '(x) = 2x − 6

f(x) naik ⇒ f '(x) > 0
⇔  2x − 6 > 0
⇔  2x > 6
⇔  x > 3

f(x) turun ⇒ f '(x) < 0
⇔  2x − 6 < 0
⇔  2x < 6
⇔  x < 3

Jadi f(x) naik pada interval x > 3 dan turun pada interval x < 3.

Contoh 2
Fungsi f(x) = 2x³ − 3x² − 36x naik pada interval ...

Pembahasan :
f '(x) = 6x² − 6x − 36

f(x) naik  ⇒ f '(x) > 0
⇔  6x² − 6x − 36 > 0

Pembuat nol :
6x² − 6x − 36 = 0
x² − x − 6 = 0
(x + 2)(x − 3) = 0
x = −2  atau x = 3

Jadi f(x) naik pada interval x < −2 atau x > 3


Contoh 3
Fungsi f(x) = x⁴ − 8x³ + 16x² + 1 turun pada interval ...

Pembahasan :

f '(x) = 4x³ − 24x² + 32x

f(x) turun  ⇒ f '(x) < 0
⇔  4x³ − 24x² + 32x < 0

Pembuat nol :
⇔  x³ − 6x² + 8x = 0
⇔  x (x² − 6x + 8) = 0
⇔  x (x − 2)(x − 4) = 0
⇔  x = 0 atau x = 2 atau x =4

Jadi f(x) turun pada interval $x<0$ atau 2 < x < 4

Penerapan Turunan: Kecekungan dan Uji Turunan Kedua

Kecekungan

Karakteristik suatu fungsi yang naik atau turun dapat kita gunakan untuk mendeskripsikan grafik fungsi tersebut. Selain itu, apabila kita tahu dimana letak selang yang membuat f ’ naik atau turun maka kita dapat menentukan di mana grafik fungsi f akan cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Definisi Kecekungan

Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawahpada I jika f ’ turun pada selang tersebut.

Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.

1. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).
2. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawahsemua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).

Untuk menemukan selang buka di mana suatu grafik fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah, kita harus menemukan selang di mana f ’ naik atau turun. Sebagai contoh, grafik

akan terbuka ke bawah pada selang buka (–∞, 0) karena

turun pada selang tersebut. Demikian pula, grafik f akan cekung ke atas pada selang (0, ∞) karena f ’ naik pada selang tersebut. Perhatikan gambar di bawah.

Teorema berikutnya menunjukkan bagaimana penggunaan turunan kedua suatu fungsi untuk menentukan selang di mana grafik f tersebut cekung ke atas atau cekung ke bawah. Bukti teorema ini merupakan akibat langsung dari Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, dan definisi kecekungan.

---

Teorema Uji Kecekungan

Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.

1. Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I.
2. Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.

---

Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai xsedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ”tidak ada. Gunakan nilai-nilai x tersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.

Contoh 1: Menentukan Kecekungan

Tentukan selang buka sedemikian sehingga grafik

cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Pembahasan Jelas bahwa fungsi yang diberikan kontinu pada seluruh garis bilangan real. Selanjutnya, kita tentukan turunan kedua fungsi f.

Karena f ”(x) = 0 ketika x = ±1 dan f ”terdefinisi pada keseluruhan garis bilangan real, kita harus menguji f ” dalam selang (–∞, –1), (–1, 1), dan (1, ∞). Hasil pengujian ketiga selang tersebut dirangkum dalam tabel berikut.

Selang	–∞ < x < –1	–1 < x < 1	1 < x < ∞
Nilai Uji	x = –2	x = 0	x = 0
Tanda f ”(x)	f ”( –2) > 0	f ”(0) < 0	f ”(2) > 0
Kesimpulan	Cekung ke atas	Cekung ke bawah	Cekung ke atas

Grafik fungsi f dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Fungsi yang diberikan dalam Contoh 1 kontinu pada keseluruhan garis bilangan real. Jika ada nilai-nilai x yang menyebabkan fungsi tidak kontinu, nilai-nilai tersebut harus digunakan bersama dengan titik-titik yang menyebabkan f ”(x) = 0 atau f ”(x) tidak ada, untuk membentuk selang-selang uji.

Contoh 2: Menentukan Kecekungan

Tentukan selang buka sedemikian sehingga grafik

cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Pembahasan Dengan menurunkan fungsi yang diberikan dua kali, dihasilkan

Berdasarkan turunan kedua f tersebut, kita dapat melihat bahwa tidak ada nilai xyang menyebabkan f ”(x) = 0, tetapi pada x= ±2, fungsi f tidak kontinu. Jadi, kita harus menguji kecekungan pada selang-selang (–∞,–2), (–2, 2), dan (2, ∞), seperti yang ditunjukkan tabel berikut.

Selang	–∞ < x < –2	–2 < x < 2	2 < x < ∞
Nilai Uji	x = –3	x = 0	x = 3
Tanda f ”(x)	f ”( –3) > 0	f ”(0) < 0	f ”(3) > 0
Kesimpulan	Cekung ke atas	Cekung ke bawah	Cekung ke atas

Grafik fungsi f ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Titik Belok

Grafik fungsi pada Contoh 1 memiliki dua titik di mana kecekungan grafik tersebut berubah. Jika grafik suatu fungsi memiliki garis singgung pada titik yang seperti itu, maka titik tersebut dinamakan titik belok. Tiga jenis titik belok dapat ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Definisi Titik Belok

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang buka, dan c adalah titik pada selang tersebut. Jika grafik f memiliki garis singgung pada titik (c, f(c)), maka titik ini merupakan titik belok grafik f ketika kecekungan f berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah (atau sebaliknya) pada titik tersebut.

Untuk menentukan letak titik belok, kita tentukan nilai x yang membuat f ”(x) = 0 atau f ”(x) tidak ada. Hal ini serupa dengan prosedur dalam menentukan letak titik ekstrim lokal f.

Teorema Titik Belok

Jika (c, f(c)) merupakan titik belok grafik f, maka f ”(c) = 0 atau f ” tidak ada pada x = c.

Contoh 3: Menemukan Titik Belok

Tentukan titik-titik belok grafik,

dan tentukan kecekungan grafik fungsi tersebut.

Pembahasan Untuk menentukan titik-titik belok grafik fungsi yang diberikan, pertama kita tentukan turunan kedua fungsi tersebut.

Dengan membuat f ”(x) = 0, kita dapat menentukan bahwa kemungkinan titik-titik beloknya terjadi pada x = 0 dan x = 2. Dengan menguji selang yang ditentukan oleh nilai-nilai x tersebut, kita bisa menyimpulkan bahwa kedua titik tersebut merupakan titik-titik belok grafik f. Perhatikan tabel berikut.

Selang	–∞ < x < 0	0 < x < 2	2 < x < ∞
Nilai Uji	x = –1	x = 1	x = 3
Tanda f ”(x)	f ”( –1) > 0	f ”(1) < 0	f ”(3) > 0
Kesimpulan	Cekung ke atas	Cekung ke bawah	Cekung ke atas

Jadi, grafik fungsi f memiliki titik belok pada (0, 0) dan (2, –16). Grafik fungsi fdapat ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Konvers Teorema Titik Belok tidak sepenuhnya benar, karena terdapat kemungkinan bahwa turunan kedua suatu fungsi pada titik tertentu sama dengan nol tetapi titik tersebut bukanlah titik belok. Misalnya, grafik f(x) = x⁴ seperti yang ditunjukkan gambar di bawah. Turunan kedua fungsi tersebut sama dengan nol ketika x = 0, tetapi titik (0, 0) bukanlah titik belok karena grafik f cekung ke atas pada selang (–∞, 0) dan (0, ∞).

Uji Turunan Kedua

Sebagai tambahan untuk menguji kecekungan, turunan kedua dapat digunakan untuk untuk melakukan pengujian terhadap maksimum dan minimum lokal. Pengujian ini berdasarkan fakta bahwa jika suatu grafik fungsi f cekung ke atas pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah minimum lokal f. Demikian juga, jika grafik suatu fungsi f cekung ke bawah pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah maksimum lokal f. Perhatikan gambar di bawah ini.

---

Teorema Uji Turunan Kedua

Misalkan f fungsi kontinu sedemikian sehingga f ’(c) = 0 dan turunan keduanya ada pada selang buka yang memuat c.

1. Jika f ”(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal pada (c, f(c)).
2. Jika f ”(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal pada (c, f(c)).

Jika f ”(c) = 0, maka pengujiannya gagal, atau dengan kata lain, f mungkin memiliki maksimum lokal, minimum lokal, atau tidak memiliki keduannya. Pada kasus ini, kita harus menggunakan Uji Turunan Pertama.

---

Pembuktian Jika f ’(c) = 0 dan f ”(c) > 0, maka ada selang buka I yang memuat csedemikian sehingga

untuk semua x ≠ c dalam I. Jika x < c, maka f ’(x) < 0. Demikian juga, jika x > c, maka x– c > 0 dan f ’(x) > 0. Jadi, f ’(x) berubah dari negatif menjadi positif pada c, dan berdasarkan Uji Turunan Pertama, f(c) merupakan minimum lokal f. Pembuktian kasus kedua serupa dengan pembuktian kasus pertama tersebut.

Contoh 4: Menggunakan Uji Turunan Kedua

Tentukan ekstrim lokal

Pembahasan Pertama kita tentukan turunan pertama fungsi tersebut.

Berdasarkan turunan ini, kita dapat melihat bahwa hanya x = –1, 0, dan 1 yang menjadi nilai kritis f. Dengan menemukan turunan keduanya

kita dapat menerapkan Uji Turunan Kedua seperti yang ditunjukkan oleh tabel berikut.

Titik	(–1, –2)	(0, 0)	(1, 2)
Tanda f ”(x)	f ”( –1) > 0	f ”(0) = 0	f ”(1) < 0
Kesimpulan	Minimum lokal	Uji gagal	Maksimum lokal

Karena Uji Turunan Kedua gagal pada (0, 0), kita dapat menggunakan Uji Turunan Pertama dan melihat bahwa f naik dari kiri ke kanan x = 0. Sehingga, (0, 0) bukanlah minimum lokal ataupun maksimum lokal. Grafik f tersebut ditunjukkan oleh gambar berikut.

DAFTAR PUSTAKA :

https://www.rahmateduc.com/2019/04/kemonotonan-fungsi_24.html?m=1

https://www.google.com/amp/s/yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/amp/

https://smatika.blogspot.com/2016/04/menentukan-interval-fungsi-naik-dan_24.html?m=1

https://yos3prens.wordpress.com/tag/penerapan-turunan/

$2<\mathrm{x}<4$