PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

Assalamualaikum wr.wb 

Nama : Adhisty Aristya Nilam (1)

Kelas : XI IPS 2

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

Garis Singgung

Sebuah garis disebut sebagai garis singgung kurva jika garis tersebut hanya memiliki satu titik persekutuan (titik singgung) dengan kurva. Karena garis singgung hanya memiliki satu titik persekutuan dengan kurva, maka untuk mendapatkan nilai kemiringannya dapat kita dekati dengan garis lain (garis secan) yang gradiennya dapat ditentukan secara langsung. 

Persamaan Garis Singgung Kurva

Misalkan garis g menyinggung kurva y = f(x) di titik $\left(x_1,y_1\right)$. Persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah $$y-y_1=m(x-x_1)$$

dengan $m=f^{\prime }\left(x_1\right)$

Garis Normal

Setelah memahami garis singgung dan gradien garis singgung, belum lengkap jika Anda belum mengetahui tentang garis normal. Karena pada setiap garis singgung suatu kurva, terdapat garis normal yang tegak lurus dengan garis singgung tersebut. Perhatikan gambar berikut:

Soal  dan penyelesaiannya yang terkait dengan persamaan garis singgung pada kurva dan garis normal 

1.  Persamaan garis singgung kurva 

$y=x^2+2x$ dititik $(1,3)$ adalah ...

Jawab :
Titik singgung : (1, 3)

f(x) = x² + 2x  ⇒  f '(x) = 2x + 2
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
⇒ m = 4

PGS di titik (1, 3) dengan m = 4 adalah
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1

2. Persamaan garis singgung kurva 

$y=2x-3x^2$ di titik dengan absis 2 adalah

Jawab :

Absis (x) = 2

y = 2x − 3x²

y = 2(2) − 3(2)²
y = −8

Titik singgung :  (2, −8)

f(x) = 2x − 3x²  ⇒  f '(x) = 2 − 6x

m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
⇒ m = −10

PGS di titik (2, −8) dengan m = −10 adalah

y − (−8) = −10(x − 2)

y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12

3. Persamaan garis singgung kurva 

$y=2\sqrt{x}$ di titik dengan ordinat 2 adalah

Jawab :
Ordinat (y) = 2
y  = 2√x
2 = 2√x
1 = √x
x = 1
Titik singgung : (1, 2)

f(x) = 2√x  ⇒  f '(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}$
m = f '(1) = $\frac{1}{\sqrt{1}}$
⇒ m = 1

PGS di titik (1, 2) dengan m = 1 adalah
y − 2 = 1(x − 1)
y − 2 = x − 1
y = x + 1

4. Tentukan persamaan garis normal pada kurva y = x2 — x + 7 di titik yang berabsis 2
Jawab :

x = 2 maka y = 22 — 2 + 7 = 4 — 2 + 7 = 9
Jadi titik singgungnya adalah (2, 9)
Titik yang dilalui garis normal adalah juga (2, 9)
Langkah selanjutnya kita cari gradien garis singgung
m = y’ = 2x — 1
= 2.2 — 1 = 3
Gradien garis singgung m1 = 3
Gradien garis normal m2
Karena gris singgung tegak lurus garisn normal maka
m1.m2 = –1
3m2 = — 1
m2 = –⅓
maka persamaan garis normalnya adalah
y — y1 = m2(x — x1)
y — 9 = –⅓(x — 2)
3y — 27 = — x + 2
x + 3y = 29

5. Tentukan persamaan garis normal pada kurva y = x3 — 20 di titik yang berordinat 7
Jawab :
y = 7
maka
x3 — 20 = 7
x3 = 27
x = 3
Gradien garis singgung
m1 = y’ = 3x2 = 3.32 = 27
maka
m1.m2 = — 1
27m2 = — 1
m2 = — 1/27
 
maka persamaan garis normalnya adalah
y — y1 = m2(x — x1)
y — 7 = — 1/27 (x — 3)
27y — 189 = — x + 3
x + 27y = 192

6. Tentukan persamaan garis normal pada kurva y = x4 + 8 yang bergradien — ¼
Jawab :
m2 = –¼
maka
m1.m2 = — 1
m1 (–¼) = — 1
m1 = 4
y’ = 4
4x3 = 4
x3 = 1
x = 1
y = x4 + 8 = 14 + 8 = 9
y — y1 = m2(x — x1)
y — 9 = –¼ (x — 1)
4y — 36 = — x + 1
x + 4y = 37

7. Persamaan garis singgung kurva 

$y=x^2+5$ yang sejajar dengan garis $2x-y+3=0$ adalah

Jawab :

Misalkan :
m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung

2x − y + 3 = 0  ⇒  m₁ = 2

Sejajar : m₁ = m₂

⇒ m₂ = 2

f(x) = x² + 5   ⇒  f '(x) = 2x

m₂ = f '(x)

2 = 2x

x = 1

y = x² + 5

y = (1)² + 5
y = 6

Titik singgung : (1, 6)

PGS di titik (1, 6) dengan m₂ = 2 adalah

y − 6 = 2(x − 1)

y = 2x − 2 + 6
y = 2x + 4

Tentukanlah persamaan pada garis singgung bagi kurva y = x2 + 3x pada titik (1,3)

Pembahasan
f(x) = x2 + 3x
f'(x) = 3x + 2
m = f ‘(1) = 3(1) + 2 = 5
m = 5

Jadi, persamaan dari garis singgungnya ialah:
y – y1 = m(x – x1)
y − 3 = 5(x − 1)
y − 3 = 5x − 5
y = 5x − 2

9. Tentukanl Persamaan dari garis singgung pada kurva y = 3x3 – 3x2 pada titik berabsis 2

Pembahasan
Absis itu ialah sumbu -x, jadi x =2:
Langkah ke-1 : Cari lah titik singgung dengan cara memasukkan nilai x = 2
y = 3x3 – 2x2
y = 3(2)3 − 3(2)2
y = 24 – 12
y = 12
Jadi titik singgung : (2, 12)

Langkah ke- 2: Cari nilai dari gradien
f(x) = 3x3 – 3x2
f ‘(x) = 9x2 – 6x
m = f ‘(2) = 9(2)2 − 6(2)
m = 36 – 12
m = 24

Jadi, persamaan dari garis singgungnya ialah :
y – y1 = m(x – x1)
y − 12 = 24(x − 2)
y = 24x – 36

10. Tentukanlah persamaan pada garis singgung pada kurva y = 2 + 3x – x2 sejajar dengan garis 2x + y = 3

Pembahasan

Langkah ke-1 : Cari nilai dari m1

y = 2 + 3x – x2
m1 = f'(x) = -3x + 2
m1 = -3x + 2

Langkahke-2 : Carilah nilai dari m2
2x + y = 3
y = -2x + 3
m2 = -2 (Ingat !! Apabila y = ax + b ⇒ m = a )

Langkah ke-3 : Cari nilai dari x
Dikarenakan kedua garisnya saling sejajar maka berlakunya :
m1 = m2
-3x + 2 = -2
-3x = -4
x = 1,3
Langkah ke-4 : Cari nilai dari y yang memasukkan nilai dari x = 1,3
y = 2 + 3x – x2
y = 2 + 2(1,3) – (1,3)2
y = 2 + 2,6 – 1.69
y = 2.91

Sekarang kita sudah mempunyai titik singgung (1.3,2.91)

Langkah ke-4: Persamaan dari garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
y – 2.91 = -2(x – 1.3)
y = -2x + 5.51

DAFTAR PUSTAKA: 

https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu4.html

https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu3.html

https://smatika.blogspot.com/2016/04/persamaan-garis-singgung-kurva_6.html

https://supermatematika.com/persamaan-garis-normal