MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI DENGAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Adhisty Aristya Nilam (1) 

Kelas  : XI IPS 2

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI DENGAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA

Kurva suatu fungsi dapat digambar dengan menganalisis beberapa konsep turunan, yaitu fungsi naik atau turun, titik optimum (maksimum atau minimum), titik stasioner, dan titik belok. Fungsi naik dan fungsi turun dapat kita amati pada sebuah bola yang dilemparkan ke atas. Pergerakan bola dari titik di permukaan menuju titik tertinggi merupakan kurva naik. Sedangkan pergerakan bola dari titik tertinggi menuju titik di permukaan merupakan fungsi turun.

Titik optimum (maksimum atau minimum) dinyatakan jika gradien suatu fungsinya sama dengan nol (m = 0). Karena gradien sama dengan turunan pertama dari fungsi tersebut maka turunan pertama dari fungsi sama dengan nol (f'(x) = 0). Titik tersebut dinyatakan dengan titik stasioner.

Beberapa sifat dari turunan pertama dan kedua yang menyatakan titik stasioner, optimum, dan titik belok suatu fungsi pada x1 dapat kita nyatakan sebagai berikut:

f'(x1) = 0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik stasioner,

f'(x1) = 0 dan f''(x1)>0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik minimum,

f'(x1) = 0 dan f''(x1)<0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik maksimum,

f''(x1) = 0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik belok.

Langkah - Langkah Menggambar Grafik Fungsi Menggunakan Turunan

Berikut langkah-langkah mengambar grafik suatu fungsi menggunakan turunan :

i). Menentukan titik potong (tipot) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y). Titik potong sumbu X, substitusi y=0y=0 . Titik potong sumbu Y, substitusi x=0x=0 .

ii). Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik balik maksimum, dan titik belok).

iii). Menentukan titik bantuan lain agar grafiknya lebih mudah sketsa, atau bisa juga secara umum menentukan nilai yy untuk xx besar positif dan untuk xx besar negatif.Contoh :

1). Gambarlah grafik kurva y=3x2−x3y=3x2−x3.

Penyelesaian : i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu : *). Tipot sumbu X, substitusi y=0

y=0 y=0→y 0=3x2−x3

3x2−x3=0

x2(3−x)

x=0 ∨ x =3

Sehingga titik potong sumbu X adalah (0,0) dan (3,0). *). Tipot sumbu Y, substitusi x=0

y=3x2−x3 = 3.02−03 = 0y = 3x2−x3 = 3.02−03 = 0

Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0,0).

ii). Menentukan titik-titik stasioner,

Fungsi : y=3x2−x3 f′(x)=6x−3x2f′(x)=6x−3x2 dan f′′(x)=6−6x

*). Syarat stasioner : f′(x)=0

f′(x)=0 6x−3x2=0

3x(2−x)=0

x=0 v x =2

Untuk x=0x=0 , nilai stasionernya f(0)=3.02−03=0 titik stasionernya (0,0) . Untuk x=2x=2 , nilai stasionernya f(2)=3.22−23=4 titik stasionernya (2,4).

*). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : f′′(x)=6−6xf′′(x)=6−6x Untuk x=0→f′′(0)=6−6.0=6x=0→f′′(0)=6−6.0=6 (positif) , jenisnya minimum. Untuk x=2→f′′(2)=6−6.2=−6x=2→f′′(2)=6−6.2=−6 (negatif) , jenisnya maksimum. Artinya titik (0,0) adalah titik balik minimum dan titik (2,4) adalah titik balik maksimum.

iii). Berdasarkan fungsi y=3x2−x3,y=3x2−x3, kita substitusi beberapa nilai xx yaitu : Untuk xx semakin besar, nilai yy semakin besar negatif (ke bawah) dan untuk xx semakin kecil, nilai yy semakin besar positif (ke atas).

2. Gambarkan grafik berikut dengan menggunakan konsep turunan.
Titik stasioner diperoleh berada di titik (1, -1) sebagai berikut:
Interval naik atau turun pada fungsi:
Pada fungsi tidak terdapat titik belok karena 2 tidak sama dengan nol, sepertii berikut:Titik optimum berada di titik (1, -1) dengan melakukan uji titik stasioner ke turunan kedua fungsi, , dimana f''(x)=2>0. Sehingga grafik fungsi dengan konsep turunan pada soal dapat kita gambarkan seperti di bawah ini:Contoh soal 1

Perhatikan gambar dibawah ini.

Contoh soal fungsi kuadrat nomor 8

Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah…
A. (-1, 0) dan (-8, 0)
B. (-1, 0) dan (8, 0)
C. (1, 0) dan (-8, 0)
D. (1, 0) dan (8, 0)
E. (2, 0) dan (5, 0)

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

• titik balik xp = 9/2
• titik balik yp = -49/4
• y = 8

xp = -b         9

       2 . a  =  2

Sehingga kita dapat a = 2

                                      2  = 1 dan b = -9.

yp = -(b2 – 4 . a . c)      -49

                 4 . a          =   4

b2 – 4 . a . c = 49
92 – 4 . 1 . c = 49
81 – 4c = 49 atau 4c = 81 – 49 = 32
c = 32

      4    = 8

Jadi persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah:
y = ax2 + bx + c
y = xp – 9x + c
Untuk menentukan titik potong x kita lakukan pemfaktoran sebagai berikut:
xp – 9x + 8 = 0
(x1 – 8) (x2 – 1) = 0
x1 = 8 dan x2 = 1

Jadi titik potong sumbu X adalah (8,0) dan (1,0). Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 2

Selidikilah apakah grafik fungsi berikut memotong sumbu X, menyinggung sumbu X atau tidak memotong sumbu X.

1. y = x2 + 9x + 20
2. y = 2x2 – 3x + 1

Pembahasan / penyelesaian soal

1. a = 1 dan D = b2 – 4ac = 92 – 4 . 1 . 20 = 81 – 80 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.
2. a = 2 dan D = b2 – 4ac = -32 – 4 . 2 . 1 = 9 – 8 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.

Contoh soal 3

Perhatikan gambar fungsi kuadrat dibawah ini.

Contoh soal 5 fungsi kuadrat

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = x2 – 2x + 15
B. y = x2 – 2x – 15
C. y = x2 + 2x + 15
D. y = x2 – 8x – 15
E. y = x2 – 8x + 15

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

• x1 = -5
• x2 = -3
• y = 15

Fungsi kuadrat dibentuk dengan cara sebagai berikut:

• y = a (x – x1) (x – x2)
• y = a (x – (-5)) (x – (-3))
• y = a (x + 5) (x + 3)
• y = a (x2 + 3x + 5 x + 15)
• y = a (x2 + 8x + 15)

Selanjutnya kita tentukan nilai a dengan subtitusi nilai x = 0 dan y = 15 sehingga didapat:

• 15 = a (02 + 8 . 0 + 15)
• 15 = a . 15
• a = 15/15 = 1

Jadi fungsi kuadratnya adalah:

• y = 1 (x2 + 8x + 15)
• y = x2 + 8x + 15

Jadi soal ini jawabannya C.

Wassalamualaikum wr. wb.

Sumber :

https://www.kompas.com/skola/read/2020/11/18/174944769/menggambar-grafik-fungsi-pada-konsep-turunan?page=all

https://novandhikarf.wixsite.com/home/post/grafik-turunan