NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Adhisty Aristya Nilam (1)

Kelas  : XI IPS 2

NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

NILAI STASIONER 

Jika f(x) diferensiabel di x = a dengan $f^{\prime }\left(a\right)=0$maka f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan titik (a, f(a)) disebut titik stasioner dari f(x).

Perhatikan grafik fungsi berikut !

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan f(b) adalah nilai stasioner di x = b, dimana turunan pertama di titik-titik tersebut bernilai nol. Selanjutnya titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) disebut titik stasioner dari fungsi f.

Latihan Soal

Latihan 1

Diketahui fungsi $y=a{x}^3+b{x}^2$ dengan a dan b konstan. Jika nilai stasioner di $x=1$ adalah −1, tentukan nilai a − b !

Jawab :

Substitusi titik stasioner (1, −1) ke fungsi y :

y = ax³ + bx²

⇔ −1 = a(1)³ + b(1)²

⇔ −1 = a + b .................(1)

f(x) = ax³ + bx²

f '(x) = 3ax² + 2bx

Karena f stasioner di x = 1 maka :

f '(1) = 0

⇔ 3a(1)² + 2b(1) = 0

⇔ 3a + 2b = 0 ................(2)

Eliminasi (1) dan (2)

  a +   b = −1   ×3

3a + 2b = 0     ×1

3a + 3b = −3

3a + 2b = 0   _

          b = −3

Dari persamaan (1)

a + b = −1

a + (−3) = −1

a = 2

Jadi, a − b = 2 − (−3) = 5

Latihan 2

Grafik fungsi kuadrat $f\left(x\right)=-x^2-2px+3$mencapai nilai balik maksimum untuk absis $x=-1$. Tentukan nilai p dan koordinat titik balik maksimum fungsi tersebut !

Jawab :

f(x) = −x² − 2px + 3

f '(x) = −2x − 2p

Karena f mencapai nilai balik maksimum di $x=-1$ maka :

f '(−1) = 0

⇔ −2(−1) − 2p = 0

⇔ 2 − 2p = 0

⇔ p = 1

Untuk p = 1 maka 

f(x) = −x² − 2(1)x + 3

f(x) = −x² − 2x + 3

Nilai balik maksimum :

f(−1) = −(−1)2 − 2(−1) + 3 = 4

Jadi, titik balik maksimum : (−1, 4)

Latihan 3

Fungsi kuadrat $f\left(x\right)=a{x}^2+bx-5$ mempunyai koordinat titik balik minimum di $(2,-9)$. Hitunglah nilai $a+b$ !

Jawab :

Substitusi titik (2, −9) ke fungsi f(x)

−9 = a(2)²  + b(2) − 5
4a + 2b = −4 ......................(1)

f '(x) = 2ax + b

Karena f mencapai nilai balik minimum di $x=2$, maka :

f '(2) = 0

2a(2) + b = 0

4a + b = 0 ..........................(2)

Eliminasi (1) dan (2) diperoleh 

a = 1

b = −4

Jadi, a + b = 1 + (−4) = −3

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut.

1. Jika $f^{\prime }\left(x\right)$ bertanda positif, atau $f^{\prime }\left(x\right)>0$, maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik).
2. Jika $f^{\prime }\left(x\right)$ bertanda negatif, atau $f^{\prime }\left(x\right)<0$, maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun).
3. Jika $f^{\prime }\left(x\right)$ bertanda netral, atau $f^{\prime }\left(x\right)=0$, maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam).

Kondisi suatu fungsi $y=f\left(x\right)$ dalam keadaan naik, turun, atau diam
Diberikan fungsi $y=f\left(x\right)$ dalam interval $I$dengan $f\left(x\right)$ diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap $x$ di dalam interval $I$.

1. Jika $f^{\prime }\left(x\right)>0$, maka kurva $f\left(x\right)$ akan selalu naik pada interval $I$.
2. Jika $f^{\prime }\left(x\right)<0$, maka kurva $f\left(x\right)$ akan selalu turun pada interval $I$.
3. Jika $f^{\prime }\left(x\right)=0$, maka kurva $f\left(x\right)$ stasioner (tetap/diam) pada interval $I$.
4. Jika $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$, maka kurva $f\left(x\right)$ tidak pernah turun pada interval $I$.
5. Jika $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$, maka kurva $f\left(x\right)$ tidak pernah naik pada interval $I$.

Perhatikan sketsa grafik suatu fungsi $f\left(x\right)$berikut.

Perhatikan bahwa kurva yang ditandai dengan warna merah adalah ketika fungsi itu dikatakan naik, dan biru untuk fungsi turun. Titik $a$ dan $b$disebut titik stasioner, yaitu titik di mana fungsi itu diam (tidak naik maupun tidak turun). Fungsi $f\left(x\right)$naik saat $x<a$ atau $x>b$, sedangkan $f\left(x\right)$turun pada saat $a<x<b$.

Latihan soal

Contoh soal 1

Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = x2 – 4x +8.

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita terapkan syarat fungsi naik yaitu f'(x) > 0 sehingga diperoleh:

• f'(x) > 0
• 2x – 4 > 0
• x > $\frac {4} {2}$
• x > 2.

Jadi interval fungsi naik f(x) = x2 – 4x + 8 adalah x > 2.

Contoh soal 2

Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = 2x2+ 8x – 4.

Penyelesaian soal

Untuk menyelesaikan soal ini kita terapkan syarat fungsi turun yaitu f'(x) < 0 sehingga diperoleh:

• f'(x) < 0
• 4x + 8 < 0
• x < – $\frac {8} {4}$
• x < -2

Jadi interval fungsi turun x< – 2.

Contoh soal 3

Fungsi y = ax – 2 akan selalu naik apabila …

Penyelesaian soal

Kita turunkan terlebih dahulu y = ax – 2 dan diperoleh y’ = a. Berdasarkan syarat fungsi naik y’ > 0 maka diperoleh a > 0. Jadi fungsi y = ax – 2 selalu naik pada a > 0.

DAFTAR PUSTAKA :

- https://smatika.blogspot.com/2016/04/nilai-stasioner-dan-jenis-jenis-ekstrim_26.html?m=1 

- https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-fungsi-naik-dan-fungsi-turun/ 

- https://soalfismat.com/contoh-soal-fungsi-naik-fungsi-turun/