PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Adhisty Aristya Nilam (1)

Kelas : XI IPS 2

TURUNAN : PENGERTIAN, MACAM, SIFAT-SIFAT, RUMUS & CONTOH SOAL

Definisi Turunan

Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel).

Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.

Menggunakan konsep limit yang sudah dipelajari, turunan dapat didefinisikan sebagai

turunan tersebut didefinisikan sebagai limit dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel x.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai contoh penerapan turunan.

Penerapan Turunan

Berikut merupakan beberapa penerapan turunan.

Turunan dapat diterapkan untuk menghitung gradien dari garis singgung suatu kurva.
Turunan dapat digunakan untuk menentukan interval dimana suatu fungsi naik atau turun.
Turunan dapat diterapkan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi.
Turunan dapat diterapkan dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan persamaaan gerak.
Turunan dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan maksimum-minimum.

SIFAT-SIFAT TURUNAN

Misalkan

f(x)

adalah sebuah fungsi, maka turunannya adalah

f'(x),

dimana

f'(x)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Turunan dapat diketahui melalui sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat dari turunan.

Sifat-sifat Turunan

1. Jika

f(x)=c

dimana

c

adalah konstanta, maka turunannya adalah

f'(x)=0

Contoh:

\begin{aligned} f(x)&=2 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=13 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=100 &\rightarrow f'(x)=0 \end{aligned}

2. Jika

f(x)=cx

, maka turunannya adalah

f'(x)=c

Contoh:

\begin{aligned} f(x)&=2x &\rightarrow &f'(x)=2\\ f(x)&=13x &\rightarrow &f'(x)=13\\ f(x)&=100x &\rightarrow &f'(x)=100 \end{aligned}

3. Jika

f(x)=x^n

maka turunannya adalah

f'(x)=nx^{n-1}

Contoh:

\begin{aligned} f(x)&=x^4 &\rightarrow &f'(x)=4x^3\\ f(x)&=x^3 &\rightarrow &f'(x)=3x^2\\ f(x)&=x^2 &\rightarrow &f'(x)=2x \end{aligned}

4. Jika

f(x)=cx^n

maka turunannya adalah

f'(x)=cnx^{n-1}

Contoh:

\begin{aligned} f(x)&=2x^4 &\rightarrow &f'(x)=8x^3\\ f(x)&=13x^3 &\rightarrow &f'(x)=39x^2\\ f(x)&=100x^2 &\rightarrow &f'(x)=200x \end{aligned}

5. Jika

f(x)=c\,u(x)

maka turunannya adalah

f'(x)=c\,u'(x)

Contoh:

\begin{aligned} f(x)&=4\ln{x}&\rightarrow &f'(x)=4\frac{1}{x}\\ f(x)&=3\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=3\sin{x}\\ f(x)&=2\sin{x}&\rightarrow &f'(x)=-2\cos{x} \end{aligned}

6. Jika

f(x)=u(x)\pm v(x)

maka turunannya adalah

f'(x)=u'(x)\pm v'(x)

Contoh:

\begin{aligned} f(x)&=2x+x^2&\rightarrow &f'(x)=2+2x\\ f(x)&=x^4-x^3&\rightarrow &f'(x)=4x^3-3x^2\\ f(x)&=\sin{x}+\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=\cos{x}-\sin{x} \end{aligned}

7. Jika

f(x)=u(x)v(x)

maka turunannya adalah

f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Contoh:

f(x)=x^4x^3

Misalkan

u(x)=x^4

dan

v(x)=x^3,

maka

u'(x)=4x^3

dan

v'(x)=3x^2,

sehingga

\begin{aligned} f'(x)&=(4x^3)(x^3)+(x^4)(3x^2)\\ &=4x^6+3x^6\\ &=7x^6 \end{aligned}

8. Jika

f(x)=\displaystyle\frac{u(x)}{v(x)}

maka turunannya adalah

f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}

Contoh:

f(x)=\frac{x^4}{x^3}

Misalkan

u(x)=x^4

dan

v(x)=x^3,

maka

u'(x)=4x^3

dan

v'(x)=3x^2,

sehingga

\begin{aligned} f'(x)&=\frac{(4x^3)(x^3)-(x^4)(3x^2)}{(x^3)^2}\\ &=\frac{4x^6-3x^6}{x^6}\\ &=1 \end{aligned}

9. Jika

f(x)={u(x)}^n

maka turunannya adalah

f'(x)=n(u(x))^{n-1}u'(x)

Contoh:

f(x)=(2x+x^2)^4

Misalkan

u(x)=2x+x^2,

sehingga

u'(x)=2+2x,

maka

f'(x)=4\left(2x+x^2\right)^3(2+2x)

Sifat-sifat Turunan Logaritma Natural

\begin{aligned} f(x)&={^c}\log{x}&\rightarrow &f'(x)=\frac{1}{x}.{^c}\log e\\ f(x)&={^c}\log{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.{^c}\log e \end{aligned}

dimana

e

adalah bilangan euler yang nilainya adalah

e=2\text{,}7182818.

Sifat-sifat Turunan Logaritma

\begin{aligned} f(x)&=\sin{x}&\rightarrow&f'(x)=\cos{x}\\ f(x)&=\cos{x}&\rightarrow&f'(x)=-\sin{x}\\ f(x)&=\tan{x}&\rightarrow&f'(x)=\sec^2{x}\\ f(x)&=\cot{x}&\rightarrow&f'(x)=-\csc^2{x}\\ f(x)&=\sec{x}&\rightarrow&f'(x)=\sec{x}.\tan{x}\\ f(x)&=\csc{x}&\rightarrow&f'(x)=-\csc{x}.\cot{x} \end{aligned}

Perluasan Turunan Fungsi Trigonometri

\begin{aligned} f(x)&=\sin{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\cos{g(x)}\\ f(x)&=\cos{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\sin{g(x)}\\ f(x)&=\tan{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\sec^2{g(x)}\\ f(x)&=\cot{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\csc^2{g(x)}\\ f(x)&=\sec{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\sec{g(x)}.\tan{g(x)}\\ f(x)&=\csc{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\csc{g(x)}.\cot{g(x)} \end{aligned}

Cari Blog Ini

Adhisty Aristya Nilam

PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA

Definisi Turunan