Pertumbuhan, Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, Bunga Anuitas, Peluruh dan beberapa contoh

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Adhisty Aristya Nilam (1)

Kelas : XI IPS 2

Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan kenaikan atau pertambahan nilai suatu besaran terhadap besaran sebelumnya yang mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial).

Rumus pertumbuhan linear:

P_n = P_0 (1 + n_b)

Rumus pertumbuhan eksponensial:

P_n = P_0 (1 + b)^n

Dimana:
P_n = nilai besaran setelah periode
P_0 = nilai besaran di awal periode
b = tingkat pertumbuhan
n = banyaknya periode pertumbuhan

Contoh soal :

1) Penduduk kota A baerjumlah 1 juta jiwa pada awal tahun 2000. Tingkat pertumbuhan penduduk per tahun adalah 4 %. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada awal tahun 2003!

Jawab:

t = 2003-2000 = 3

P0 = 1 juta jiwa

r = 4% per tahun

Pt = P0 (1+r)ᵗ

P16 = 1(1+0,04)³

= (1,04)³

= 1,124864

= 1.124.864 juta jiwa

2)  Kultur jaringan pada suatu uji laboratorium menunjukkan bahwa satu bakteri dapat membelah diri dalam    waktu 2 jam. Diketahui bahwa pada awal kultur jaringan tersebut terdapat 1.000 bakteri. tentukan banyak bakteri dalam 10 jam

pembahasan :

Mn    = Mo x r^n
M10   = Mo x r^10
= 1000 x 2^10
  = 1.024.000

Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang dibayar pada setiap periode dengan besaran tetap. Besarnya bunga tunggal dihitung berdasarkan perhitungan modal awal.

Rumus bunga tunggal pada akhir periode:

$B = M_0 \times t \times r$

Rumus besarnya modal pada akhir periode:

$M_t = M_0 (1 + t \times r)$

Dimana:
B = bunga
M_0 = modal awal
M_t = modal pada akhir periode –
t = periode
r = tingkat suku bunga (persentase)

Contoh soal :

1) Koperasi Simpan Pinjam memberikan pinjaman kepada anggotanya dengan bunga 2% per bulan. Jika Adi meminjam uang sebesar Rp. 500.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 2 bulan, tentukan besar bunga setiap bulannya dan besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka waktu yang telah ditentukan!

Jawab:
M_0 = Rp. 500.000,00
r = 2%
t = 2 bulan

Maka, besar bunga setiap bulannya adalah:

$B = M_0 \times t \times r$
$B = Rp. 500.000,00 \times 1 \times 2%$
B = Rp. 10.000,00

Besar uang yang harus dikembalikan setelah 2 bulan:

$M_t = M_0 (1 + t \times r)$
$M_2 = Rp. 500.000,00 (1 + 2 \times 2%)$
M_2 = Rp. 500.000,00 (1.04)
M_2 = Rp. 520.000,00

2) Modal sebesar Rp12.000.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal 10% setahun. Setelah 3 tahun besarnya modal akhir adalah …

Jawab
M = Rp12.000.000,00
b = 10% per tahun
n = 3 tahun
Besar modal akhir selama 3 tahun adalah
Mn = M(1 + nb)
Mn = Rp12.000.000,00 (1 + 3(10%))
Mn = Rp12.000.000,00 (1 + 3())
Mn = Rp12.000.000,00 (1 + 3(0,1))
Mn = Rp12.000.000,00 (1 + 0,3)
Mn = Rp12.000.000,00 (1,3)
Mn = Rp15.600.000,00

Bunga Majemuk

Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung berdasarkan jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. Bunga semacam ini biasanya disebut bung ayang dapat berbunga. Perhitungan dalam bunga majemuk menggunakan perhitungan deret geometri.

Jadi, rumus untuk besar modal pada periode ke- dengan bunga majemuk ialah:

M_t = M_0 (1 + i)^t

Dimana:
M_t = besar modal pada periode ke-
M_0 = modal awal
i = tingkat suku bunga
t = periode

Contoh soal :

1) Sebuah bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas bunga majemuk 3% per tahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp. 5.000.000,00 dan bank membungakan majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun?

Jawab:

M_0 = Rp. 5.000.000,00
i = 3% = 0.03
t = 12 bulan

Modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah:

M_t = M_0 (1 + i)^t
$M_{12} = Rp. 5.000.000,00 (1 + 0.03)^{12}$
$M_{12} = Rp. 5.000.000,00 (1.42576)$
$M_{12} = Rp. 5.000.000,00 (1 + 0.03)^{12}$
$M_{12} = Rp. 7.128.800,00$

2) Modal sebesar Rp25.000.000,00 dipinjamkan selama 5 tahun dengan perjanjian bunga majemuk 4% setahun. Besar modal beserta bunganya yang diterima pada akhir periode adalah …

(hasil (1 + b)ⁿ dibulatkan 4 angka dibelakang koma)

Jawab

M = Rp25.000.000,00
n = 5 tahun
b = 4% per tahun

Besar modal yang diterima pada akhir periode

Mn = M(1 + b)ⁿ

Mn = Rp25.000.000,00(1 + 4%)⁵

Mn = Rp25.000.000,00(1 + )⁵

Mn = Rp25.000.000,00(1 + 0,04)⁵

Mn = Rp25.000.000,00(1,04)⁵

Mn = Rp25.000.000,00(1,2167)

Mn = Rp30.417.500,00

Anuitas

Anuitas adalah sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah dan jangka waktu yang tetap (tertentu). Jika suatu pinjaman akan dikembalikan secara anuitas, maka terdapat tiga komponen yang menjadi dasar perhitungan, yaitu:

Besar pinjaman
Besar bunga
Jangka waktu dan jumlah periode pembayaran

Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri, sehingga:

Anuitas = Bunga atas hutang + Angsuran hutang

Jika hutang sebesar M_0 mendapat bunga sebesar per bulan dan anuitas sebesar , maka dapat ditentukan:

Besar bunga pada akhir periode ke-:

$B_n = (1 + b)^{n-1} (b \times M - A) + A$

Besar angsuran pada akhir periode ke-:

$A_n = (1 + b)^{n-1} (A - bM)$

Sisa hutang pada akhir periode ke-:

$M_n = (1 + b)^n (M - \frac{A}{b}) + \frac{A}{b}$

Contoh soal

1) Sebuah pinjaman akan segera di lunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besar dari angsuran Rp. 85.000, dan bunganya sebesar Rp. 315.000,00. Maka tentukanlah berapa jumlah dari anuitas tersebut ?

Jawaban nya :

Di ketahui :

An = Rp 85.000
Bn = Rp 315.000

Di tanya = AN .….. ?

Di jawab :

AN = An + Bn
AN = Rp 85.000 + Rp 315.000
AN = Rp 400.000

Jadi, jumlah dari nilai anuitas dari soal di atas ialah = Rp 400.000.

2) Sebuah pinjaman akan segera di lunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besar anuitas nya Rp 600.000,00. Maka tentukanlah berapa angsuran ke-5 jika bunga ke-5 nya ialah sebesar Rp 415.000,00 ?

Jawaban nya :

Di ketahui :

AN = Rp 600.000
Bn = Rp 415.000

Ditanya : An ..….. ?

Di jawab :

AN = An + Bn
Rp 600.000 = An + Rp 415.000
An = Rp 600.000 – Rp 415.000
An = Rp 185.000

Jadi, jumlah nilai dari angsurannya ialah sebesar = Rp 185.000.

Peluruhan

Peluruhan merupakan penurunan atau pengurangan nilai suatu besaran terhadap nilai besaran sebelumnya yang mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Contoh dari peluruhan yaitu peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.

Rumus peluruhan linear:

P_n = P_0 (1 - n_b)

Rumus peluruhan eksponensial:

P_n = P_0 (1 - b)^n

Dimana:
P_n = nilai besaran setelah periode
P_0 = nilai besaran di awal periode
b = tingkat peluruhan
n = banyaknya periode peluruhan

Contoh soal :

1) Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 100 gram mengalami reaksi kimia sehingga menyusut sebanyak 5% dari ukuran sebelumnya setiap 6 jam secara eksponensial. Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 1 hari!

Jawab:

P_0 = 100 gram
b = 5% = 0.05
$n = \frac{24}{6} = 4$

Ukuran bahan radioaktif setelah 1 hari:

P_n = P_0 (1 - b)^n
P_4 = 100 (1 - 0.05)^4
P_4 = 100 (0.95)^4
P_4 = 100 (0.8145)
P_4 = 81.45 gram

2) Pada pemeriksaan kedua dokter mendiagnosa bahwa masih ada 800.000 bakteri yang menginfeksi telinga seorang bayi. Untuk mempercepat proses penyembuhan, dokter meningkatkan dosis penisilin yang dapat membunuh 10% bakteri setiap 6 jam.tentukan banyak bakteri setelah 24 jam

pembahasan :

Mn     = Mo (1-i)^n
M4     = Mo (1-i)^4
  = 800.000 (1-0,1)^4
= 800.000 (0,9)^4
  = 800.000 (0,6561)
  = 524.880

Cari Blog Ini

Adhisty Aristya Nilam