Matrik

Nama : Adhisty Aristya Nilam (1)

Kelas : XI IPS 2

MATEMATIKA

Pengertian Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun secara baris atau kolom atau kedua-duanya dan di dalam suatu tanda kurung. Bilangan-bilangan yang membentuk suatu matriks disebut sebagai elemen-elemen matriks. Matriks digunakan untuk menyederhanakan penyampaian data, sehingga mudah untuk diolah.

Ordo Matriks

Dijelaskan sebelumnya matriks terdiri dari unsur-unsur yang tersusun secara baris dan kolom. Jika banyak baris suatu matriks adalah m, dan banyak kolom suatu matriks adalah n, maka matriks tersebut memiliki ordo matriks atau ukuran m x n.

Jenis-jenis Matriks

Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Contoh:

A = (1 4) atau B = (3 7 9) adalah matriks baris

atau adalah matriks kolom

2. Matriks Persegi

Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.

Contoh:

adalah matriks persegi berordo 3, atau

adalah matriks persegi berordo 2.

3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

Matriks persegi A yang memiliki elemen matriks untuk atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks untuk atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.

Contoh:

adalah matriks segitiga atas,

adalah matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks untuk atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.

Contoh:

5. Matriks Skalar

Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.

Contoh:

atau

6. Matriks Indentitas

Matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 disebut matriks identitas. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan “I”. Contoh:

atau

7. Matriks Simetris

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dikatakan elemen sama dengan elemen .

Contoh:

Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.

Transpose Matriks

Transpose matriks merupakan perubahan baris menjadi kolom dan sebaliknya. Transpose matriks dari adalah sebuah matriks dengan ukuran (n x m) dan bernotasi A^T. Jika matriks A ditanspose, maka baris 1 menjadi kolom 1, baris 2 menjadi kolom 2, dan begitu seterusnya.

contoh :

ditranspose menjadi

Sifat dari transpose matriks :

Operasi Matriks

Materi operasi hitung pada matriks meliputi operasi hitung penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks. Operasi hitung penjumlahan dan pengurangan pada dua buah matrik dapat dilakukan jika dua buah matriks tersebut memiliki ukuran yang sama. Ukuran matriks yang sama ditunjukkan dengan baris dan kolom pada matriks tersebut sama. Sedangkan pada perkalian matriks, operasi hitung dapat dilakukan jika matriks pertama memiliki jumlah kolom yang sama banyaknya dengan jumlah baris pada matriks ke dua.

Penjumlahan Matriks

Operasi hitung matriks pada penjumlahan memiliki syarat yang harus dipenuhi agar dua buah matriks dapay dijumlahkan. Syarat dari dua buah matriks atau lebih dapat dijumlahkan jika memiliki nilai ordo yang sama. Artinya, semua matriks yang dijumlahkan harus memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.

Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 hanya bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4. Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 tidak bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 4 dan kolom 3. Kesimpulannya, jumlah baris dan kolom antar dua matriks yang akan dijumlahkan harus sama.

Operasi hitung penjumlahan matriks memenuhi sifat komutatif, asosiatif, memiliki matriks identitas matriks nol, dan memiliki lawan matriks. Lawan matriks A adalah matriks , di mana elemen-elemen matriks merupakan lawan dari elemen-elemen matriks A.

Pengurangan Matriks

Seperti halnya operasi hitung penjumlahan matriks, syarat agar dapat mengurangkan elemen-elemen antar matriks adalah matriks harus memiliki nilai ordo yang sama.

Perkalian Matriks

Pembahasan operasi hitung matriks selanjutnya yang akan dibahas adalah perkalian matriks. Perkalian matriks yang akan dibahas di bawah adalah perkalian matriks dengan skalar dan perkalian matriks dengan matriks.

- Perkalian Matriks dengan Skalar

Cara melakukan operasi skalar pada matriks adalah dengan mengalikan semua elemen-elemen matriks dengan skalarnya. Jika k adalah suatu konstanta dan A adalah matriks

- Operasi Perkalian Dua Matriks

Seperti yang telah disinggung sebelumnya, syarat dua buah matriks dapat dikalikan jika memiliki jumlah kolom matriks pertama yang sama dengan jumlah baris matriks ke dua. Ordo matriks hasil perkalian dua matriks adalah jumlah baris pertama dikali jumlah kolom ke dua.

Matriks A memiliki jumlah kolom sebanyak m dan jumlah baris r, matriks B memiliki jumlah kolom sebanyak r dan jumlah baris m, hasil perkalian matriks A dan B adalah matriks C dengan jumlah kolom m dan jumlah baris n.

Contoh Soal :

Contoh Soal 1

Jika diketahui persamaan metrik !

A. 4
B. 5
C. 7
D. 29
E. 31

Pembahasannya :

Karena kedua matriks sama, maka elemen-elemen yang seletak akan sama pula, sehingga berlaku:

2x + 1 = 3
2x = 2
x = 1
y + 12 = 15
y = 3
x + y = 1 + 3 = 4

Jawabannya : A

Contoh Soal 2

Contoh Soal 3

Contoh Soal 4

Contoh Soal 5

Contoh Soal 6

Contoh Soal 7

Jika determinan nilai matriks A adalah 4 kali determinan nilai matriks B, maka nilai x adalah…

A. 4/3
B. 8/3
C. 10/4
D. 5/3
E. 16/7

Pembahasannya:
det A = 4 det B
4 ^x (16 ^x ) – (-16) = 4 (108 – (-152))
4 ^x (4 ^2x ) + 16 = 4 (260)
4 ^3x = 4 (260) – 16
4 ^3x = 4 (260) – 4 (4)
4 ^3x = 4 (260 – 4)
4 ^3x = 4 (256)
4 ^3x = 4. 4 ⁴
4 ^3x = 4 ⁵
3x = 5
x = 5/3