Metode Pembuktian dalam Matematika

Nama : Adhisty Aristya Nilam (1)

Kelas : XI IPS 2

Membuktikan pernyataan barisan, ketidaksamaan/pertidaksamaan, keterbagian dengan Metode: langsung, tak langsung, kontradiksi, induksi matematika

· Pembuktian Langsung

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Gampangnya, “kalau A maka B dan kalau B maka C”. Untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar. Buktikan dengan pernyataan ini.

“Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap”

2 + 2 = 4 dan 4 + 10 = 14.

Jadi pertama definisikan dulu bilangan genap itu seperti apa. Bila definisinya sudah benar, lanjut ke pernyataan selanjutnya, maka penjumlahan kedua bilangan itu akan seperti apa. Kamu juga butuh sedikit memanipulasi penjumlahan itu agar bisa mendapat bentuk yang diinginkan.

Setelah itu, lanjut ke kesimpulan. Ingat, kesimpulannya harus berdasarkan pernyataan sebelumnya.

Contoh Soal :

1. Proposisi Jika n adalah bilangan ganjil maka adalah bilangan ganjil.
Bukti
Asumsikan n ganjil.
sehingga ganjil.

2. Proposisi Jika n adalah bilangan ganjil maka adalah bilangan ganjil.
Bukti
Asumsikan nn ganjil.
Karena nn ganjil, maka terdapat bilangan bulat k sedemikian sehingga n=2k+1
sehingga ganjil.

3. Proposisi Jika n adalah bilangan ganjil maka adalah bilangan ganjil.
Bukti
Asumsikan n ganjil.
Karena n ganjil, maka terdapat bilangan bulat kk sedemikian sehingga n=2k+1
maka =2m+1 untuk suatu bilangan bulat mm
sehingga ganjil.

· Pembuktian Tidak Langsung

Kontraposisi adalah salah satu metode pembuktian tidak langsung. Kontraposisi memanfaatkan salah satu prinsip dalam logika matematika yaitu

Artinya, kalau mau membuktikan pernyataan p akan menghasilkan pernyataan q itu benar, maka buktikan saja bila bukan q maka akan menghasilkan bukan p.

Contoh Soal :

1. Jika Cristiano Ronaldo di turunkan maka Juventus akan menang.
Buatlah kalimat diatas menjadi pernyataan kontraposisi
Jawab :
Misal
p : Cristiano Ronaldo diturunkan
q : Juventus menang
p -> q : Jika Cristiano Ronaldo di turunkan maka Juventus akan menang

Kontraposisi : ~q -> ~p
Jika Juventus tidak menang maka Cristiano Ronaldo tidak diturunkan.

2. Jika harga BBM naik maka harga beras naik
Buatlah kalimat diatas menjadi pernyataan kontraposisi
Jawab :
Misal
p : harga BBM naik
q : harga beras naik
p -> q : Jika harga BBM naik maka harga beras naik

Kontraposisi : ~q -> ~p
Jika harga beras tidak naik maka harga BBM tidak naik

3. Jika Jakarta hujan deras maka sungai ciliwung meluap
Buatlah kalimat diatas menjadi kontraposisi
Jawab :
Misal
p : Jakarta hujan deras
q : Sungai ciliwung meluap

p -> q : Jika Jakarta hujan deras maka sungai ciliwung meluap
Kontraposisi : ~q -> ~p
Jika sungai ciliwung tidak meluap maka Jakarta tidak hujan deras

4. Jika lapangan pekerjaan sedikit maka pengangguran meningkat
Buatlah kalimat diatas menjadi pernyataan kontraposisi
Jawab :
Misal
p : lapangan pekerjaan sedikit
q : pengangguran meningkat
p -> q : Jika lapangan pekerjaan sedikit maka pengangguran meningkat
Kontraposisi : ~q -> ~p
Jika pengangguran tidak meningkat maka lapangan pekerjaan tidak sedikit

5. Jika Andi rajin belajar maka ia juara UNBK 2019
Buatlah kalimat diatas menjadi pernyataan kontraposisi
Jawab :
Misal
p : Andi rajin belajar
q : Andi juara UNBK 2019
p -> q : Jika Andi rajin belajar maka ia juara UNBK 2019
Kontraposisi : ~q -> ~p
Jika Andi tidak juara UNBK 2019 maka ia tidak raqjin belajar

· Pembuktian Kontradiksi

Kontradiksi ini juga termasuk pembuktian tidak langsung. Kita memanfaatkan logika matematika

Jika p → q bernilai benar padahal q salah, maka p salah

“Bila n bilangan bulat dan n bilangan genap maka 7n + 9 bilangan ganjil”

misalkan dulu pernyataan p adalah n bilangan genap dan pernyataan q adalah 7n + 9 adalah bilangan ganjil. Maka dengan kontradiksi, kita buktikan misalnya pernyataan n bukan bilangan genap (bilangan ganjil) maka 7n + 9 adalah bilangan ganjil benar, akan muncul suatu kontradiksi. Maka secara tidak langsung, pernyataan bila n bilangan genap maka 7n + 9 bilangan ganjil benar.

Contoh Soal :

1. (A^~A)

Pembahasan:

(A^~A)

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.

2. P^ (~p^q)

Pembahasan:

(~p^q)

P^ (~p ^q)

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

· Pembuktian Induksi Matematika

Induksi itu digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli. Langkah-langkah melakukan induksi matematika.

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya k, pernyataan tersebut diasumsikan benar karena berlaku untuk bilangan 1

3. Buktikan untuk bilangan asli k+1 pernyataan tersebut juga benar

Contoh Soal :

1. Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 2⁰+ 2¹+ 2²+ … + 2ⁿ= 2ⁿ⁺¹– 1

Jawaban :

(i) Basis induksi.

Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita peroleh: 2⁰= 2⁰⁺¹– 1.

Ini jelas benar, sebab 2⁰= 1 = 2⁰⁺¹– 1

= 2¹– 1

= 2 – 1

= 1

(ii) Langkah induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu

2⁰+ 2¹+ 2²+ … + 2ⁿ= 2ⁿ⁺¹– 1

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu

2⁰+ 2¹+ 2²+ … + 2ⁿ+ 2ⁿ⁺¹= 2^{(n+1) + 1}– 1

juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:

2⁰+ 2¹+ 2²+ … + 2ⁿ+ 2ⁿ⁺¹= (2⁰+ 2¹+ 2²+ … + 2ⁿ) + 2ⁿ⁺¹

= (2ⁿ⁺¹– 1) + 2ⁿ⁺¹(hipotesis induksi)

= (2ⁿ⁺¹+ 2ⁿ⁺¹) – 1

= (2 . 2ⁿ⁺¹) – 1

= 2ⁿ⁺²– 1

_{= 2}(n+1) + 1 _{– 1}

Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 2⁰+ 2¹+ 2²+ … +¹³2ⁿ= 2ⁿ⁺¹– 1¾

1. 2. Buktikan 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk masing-masing n bilangan asli.

Jawab:

P(n) : 6ⁿ + 4 habis dibagi 5

Akan dibuktikan dengan P(n) benar pada masing-masing n ∈ N.

Langkah awal:

Akan menunjukan P(1) benar
6¹ + 4 = 10 habis dibagi 5

Sehingga, P(1) benar

Langkah induksi:

Ibaratkan bahwa P(k) benar, yakni:
6^k + 4 habis dibagi 5, k ∈ N

Akan menunjukan P(k + 1) juga benar, yakni:
6^k+1 + 4 habis dibagi 5.

6^k+1 + 4 = 6(6^k)+ 4
6^k+1 + 4 = 5(6^k) + 6^k + 4

Sebab 5(6^k) habis dibagi 5 dan 6^k + 4 habis dibagi 5, maka 5(6^k) + 6^k + 4 juga akan habis dibagi 5.

Sehingga, P(k + 1) benar.

Berdasarkan dari prinsip induksi matematika tersebut, terbukti bahwa 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk masing-masing n bilangan asli.

Bilangan bulat a akan habis dibagi bilangan bulat b apabila dijumpai bilangan bulat m sehingga akan berlaku a = bm.

Misalnya, “10 habis dibagi 5” benar sebab adanya bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2.

Maka dari itu, pernyataan “10 habis dibagi 5” bisa kita tuliskan menjadi “10 = 5m, untuk m bilangan bulat”

Berdasarkan dari konsep di atas, pembuktian keterbagian bisa juga diselesaikan dengan menggunakan cara seperti berikut ini.

2. 3. Buktikan n³ + 2n akan habis dibagi 3, untuk masing-masing n bilangan asli

Jawab:

P(n) : n³ + 2n = 3m, dengan m ∈ ZZ

Akan dibuktikan dengan P(n) benar untuk masing-masing n ∈ NN

Langkah awal:

Akan ditunjukkan P(1) benar
1³ + 2.1 = 3 = 3.1

Sehingga, P(1) benar

Langkah induksi:

Ibaratkan bahwa P(k) benar, yakni:
k³ + 2k = 3m, k ∈ NN

Akan menunjukan P(k + 1) juga benar, yakni:
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, p ∈ ZZ

(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ + 3k² + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3m + 3(k² + k + 1)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3(m + k² + k + 1)